เซต(Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้และเรียกสมาชิกในกลุ่มว่า สมาชิก (Element) ตัวอย่างเช่น เซตของพยัญชนะภาษาไทย เซตของจำนวนเต็มที่ยกกำลังสองแล้วได้ 36 เป็นต้น

• คำว่า เป็นสมาชิกของ หรือ อยู่ใน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∈
• คำว่า ไม่เป็นสมาชิกของ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∉

บทนิยาม: 
เซต A เท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

• เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
• เซต A ไม่เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A ≠ B

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ คือ 
1. การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { }  และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว  เช่น

• เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า  7  เขียนแทนด้วย  {1,2,3,4,5,6,}
• เซตของพยัญชนะไทย  5  ตัวแรก  เขียนแทนด้วย  { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( … )  เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต  เช่น

• { 1,2,3,…,10 }  สัญลักษณ์ … แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต
• { วันจันทร์, อังคาร, พุธ,…, อาทิตย์ } สัญลักษณ์ … แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี  วันศุกร์  และวันเสาร์  เป็นสมาชิกของเซต

2. เขียนแบบบอกเงื่อนไข  ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต  แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร  เช่น

• {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ
• {x| x  เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี  เครื่องหมาย “ | ”  แทนคำว่า  โดยที่

สัญลักษณ์แทนเซต ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่  เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น

• A = {1,4,9,16,25,36}  หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะไม่กล่าวถึงสิ่งใดนอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้น โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วย U
เช่น

• U = {x / x เป็นอักษรในภาษาอังกฤษ}
• A = {x / x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
• B = {x / x เป็นอักษรในภาษาอังกฤษในคำว่า Math}

ตัวอย่างที่ 1 
U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }
จงเขียนเซต A  แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ         
U = {ก,ข,ค,…,ฮ}
ดังนั้น   A = {ก,ข,ค}

ตัวอย่างที่ 2  
U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ       
U = {1,2,3,…}
ดังนั้น       B = {1,2,3,4}

ตัวอย่างที่ 3
กำหนดให้ A = {1, 2, 3, …, 20} จงหาเอกภพสัมพัทธ์มา 3 เซต
วิธีทำ
เอกภพสัมพัทธ์(U) ได้แก่
1. {1, 2, 3, …,}
2. {x / x เป็นจำนวนเต็มบวก}
3. {x / x เป็นจำนวนเต็ม}

ตัวอย่างที่ 4
กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ (U) เป็นเซตจำนวนนับ จงเขียนเซตต่อไปนี้ แบบแจกแจงสมาชิก
1) A = {x / x ≤ 10}
2) B = {x / x2 + x – 12 = 0}
3) C = {x / x เป็นจำนวนนับที่ 5 หารลงตัว}
วิธีทำ
1) จาก A เป็นเซตจำนวนนับที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10
A = {1, 2, 3, …, 10}

2) จาก B เป็นเซตจำนวนนับที่สอดคล้องกับสมการ x2 + x – 12 = 0
พิจารณา x2 + x – 12 = 0
(x + 4)(x – 3) = 0
x = 3, -4
จะได้ 3 เป็นจำนวนนับ แต่ -4 ไม่เป็นจำนวนนับ
ดังนั้น B = {3}

3) จาก C เป็นจำนวนนับที่ 5 หารลงตัว
C = {5, 10, 15, …}

เซตว่าง
เซตว่าง (empty set) คือ เซตจำกัดที่ไม่มีสมาชิก หรือจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์ เรียกว่า เซตว่าง สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ Ø (อ่านว่าไฟ (phi))

ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่

• A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด
เซตจำกัด (finite sets) คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย์ ว่า เซตจำกัด จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด A เขียนแทนด้วย n(A) หรือ #(A)

ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

• A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11
• B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) =  4
• C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์
เซตอนันต์ (infinite sets) คือ เซตที่มีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน หรือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด
เช่น เซตของจุดบนส่วนของเส้นตรง, เชตของวงกลมในระนาบ, {x| x เป็นจำนวนอตรรกยะ}

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

• A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }
• B = {x| x 3,7,11,15,…}
• C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1. เซตว่างเป็นเซตจำกัด
2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}
3. เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้

I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,…}
I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}
I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}
N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}
P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน
เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่ 1 
A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}
ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B

ตัวอย่างที่ 2 
กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทำ   
A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}
จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

สับเซต

• เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A ⊂ B หรือ A ⊆ B
• เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A ⊄ B 

เช่น
A = {1, 2, 3}
B = {4, 3, 2, 1}
จะได้ A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

C = {1, 5, 7}
D = {7, 5, 1}
จะได้ C ⊂ D เพราะสมาชิกทุกตัวของ C เป็นสมาชิกของ D

เช่น A = {a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
จะได้ A ⊄ B เพราะว่า สมาชิกบางตัวของ A ได้แก่ b, c, d ไม่เป็นสมาชิกของ A
และจะได้ว่า B ⊄ A เพราะว่า สมาชิกบางตัวของ B ได้แก่ i, o, u ไม่เป็นสมาชิกของ B

ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าเซตใดเป็นสับเซตของเซตใดบ้าง
1) A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e, f}
2) A = {x / x เป็นจำนวนคู่}, B = {x / x = 2n และ n ∈ I+}
วิธีทำ
1) A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e, f}
ดังนั้น A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
2) A = {x / x เป็นจำนวนคู่}
ดังนั้น A = {0, ±2, ±4, ±6, …}
B = {x / x = 2n และ n ∈ I+}
จาก x = 2n, n ∈ I+ จะได้ x = 21, 22, 23, 24, …
ดังนั้น B = {2, 4, 8, 16, …}
ดังนั้น A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ B เป็นสมาชิกของ A

สับเซตแท้ (Proper Subset)
A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B แต่ A ≠ B
เช่น {a, i, o} เป็นสับเซตแท้ของ {a, e, i, o, u}
และ {a, e, i, o, u} เป็นสับเซตของ {a, e, i, o, u}

ข้อสังเกต

1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A ⊂ A
2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต นั่นคือ A เป็นเซตใด ๆ แล้ว Ø ⊂ A
3. จำนวนสับเซตของเซต มีได้เท่ากับ 2n สับเซต เมื่อ n แทนจำนวนสมาชิกของเซต A
4. ถ้าเซตสองเซตเป็นสับเซตซึ่งกันและกัน กล่าวคือ A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A จะเท่ากับเซต B หรือ A = B

สมบัติของซับเซต

1. A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
2. A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
3. Ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
4. ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
5. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)
6.  A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

การหาสับเซตทั้งหมดของA

• จำนวนสับเซตทั้งหมดหาได้จาก 2n เมื่อ n = จำนวนสมาชิกในเซต

ตัวอย่าง           
จงหาสับเซตทั้งหมดของ A เมื่อ A = {2, 4, 6, 8}
A จะมีสับเซตทั้งหมด 24 =16 สับเซต เมื่อแจกแจงสับเซตทั้งหมดจะได้ดังนี้

Ø
{2}  {4}  {6}  {8}
{2, 4}  {2, 6}  {2, 8}  {4, 6}  {4, 8}  {6, 8}
{2, 4, 6}  {2, 6, 8}  {2, 4, 8}  {4, 6, 8}
{2, 4, 6, 8}